algumas postagens do meu blog são feitas atravéz de livros matemáticos.

Quer pegar jogos do megaman procure no lado esquerdo onde tem escrito procurar neste blog escreva o nome do megaman

terça-feira, 28 de dezembro de 2010

Produtos Notáveis

                                  Veremos primeiro como calcular o quadrado da soma
     Quando notamos expressões envolvendo números e letras, podemos chegar ao mesmo resultado de formas diferentes. Observe como Marcelo e Elisângela efetuaram a expressão (8 + 5)² :


Forma de Marcelo: ( 8 + 5)² = (8 + 5) . (8 + 5)
                                            = 8 . (8 + 5)  + 5 . (8 + 5) 
                                            = 8 . 8 +8 . 5 + 5 . 8 + 5 . 5
                                            = 64 + 40 + 40 + 25
                                            = 169

Forma de Elisâgela: (8 + 5) = (13)²
                                          = 13 . 13
                                          = 169

Veja agora como efetuamos (a + b)²

A pricípio, a pode não ter qualquer relação com b. Nesse caso, não é possivel efetuar a soma a + b diretamente. Por isso, um jeito de obter (a + b)² é o seguinte:

(a + b)² = (a + b) . (a + b)                        Distribuímos a soma bobre o produto
             = a² + ab + ab + b²                     Efetuamos as multiplicações
             = a² + 2ab + b²                           Observe que a . a = a² e b . b = b²
                                                                Como ab = ba, temos ab + ba = 2ab ou 2ba

     Preste atenção nas contas que Elisângela e Marcelo fiseram. Agora eles estão calculando o produto (8 + 5)(8 - 5)

Forma de Elisângela: (8 + 5)(8 - 5) = 64 - 40 + 40 - 25
                                                      = 64 - 25
                                                      = 39

Forma de Marcelo: (8 + 5)(8 - 5) = 13 . 3
                                                    = 39

Agora vamos caucular ultilizando a álgebra, o produto: (2x + 3y)(2x - 3y)

(2x + 3y)(2x - 3y) =  4x² -6xy + 6xy - 9y²
                             = 4x² - 9y²

                                    Agora veremos como calcular o cubo da soma
     A expressão dada ao lado mostra o cubo da soma: (a + b)³. veremos agora como caucula-la. (do meu modo).

(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b)
             = (a² + ab + ab + b²) . (a + b)
             = (a² + 2ab + b²) . (a + b)
             = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
             = a³ + 3a²b + 3ab² + b³                   

quinta-feira, 23 de dezembro de 2010

Notação científica

Ao estudar o universo e os corpos celestes, algumas vezes nos deparamos com números muito grandes. Por exemplo: fora de nosso sistema solar, a estrela mais próxima da Terra é a Alfa de centauro. A distância entre ela e o o nosso planeta é de

37 843 200 000 000 km

Podemos expressar números extremamentee grandes de uma maneira muito mais conveniente. Para isso, usamos as potências de 10. Elas são 10, 100, 1000 etc. O quadro abaixo usa potenciação para escrever esses números
10 = 10¹

100 = 10. 10 = 10²


1000 = 10. 10 . 10 . 10 = 10³

10 000= 10 . 10 . 10 . 10 = 10^4

100 000 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 10^5

Assim, podemos escrever a distância da terra até Alfa de Centauro como

37 843 200 000 = 3, 78432 . 10^13 km

Mas observe que 10 000 000 000 000 é igual a 10 ^13. Por isso,




37 843 200 000 000 km = 3, 78432 . 10^13 km

Como 10^13 é um número com 13 zros depois do 1, ao multiplicarmos 3, 78432 por 10^13, a vírgula se desloca 13 casas para a direita, dando como resultado o número 37 843 200 000 000.
 Este número deve estar entre 1 e 10     .            10^13
                                           3,78432                   este deve ser uma potência de 10

Além do "macroscópio" (galaxias, estrelas e planetas), há também o "microscópico" (bactérias, átomos, particulas). Quando trabalhamos com o "microscópico" deparamo-nos com medidas de objetos muito pequenos. Veja, por exemplo, quanto pesa uma particula de poeira:
                                                                    0,000 000 753 g
Ao caso do peso da particula de poeira, teremos:
0,000 000 753 = 7,53 : 10 000 000 = __7,53_____          
                                                           10 000 000
= 7, 53 . ____1____
               10 000 000    
Mas observe que a fração ____1____ é igual  a 10^-7
                                        10 000 000  
0, 000 000 753 g = 7, 53 . 10^-7 g

Como 10^-7 é uma fração com denominador 1 seguido de 7 zeros, ao multiplicarmos 7, 53 por 10^-7, a vírgula se desloca 7 casas para a esquerda, dando como resultado o número 0, 000 000 753.


     Dizemos que um número está escrito em notação cintífica quando ele é o produto de um número maior a 1 e menor que 10, e uma potência de 10, como essa aí em cima. Foi por isso que, ao comerçar a trabalhar com o número 0, 000 000 753, tivemos que escrevê-lo como 7, 53 : 10 000 000, e depois como 7,53 . 10^-7.

     Esse tipo de notação nos permite representar números com muitos dígitos de uma maneira mais simplificada. Ele aparece com freqüência em estudos ciêntificos, como mostram os exemplos da distância da Terra a Alfa centauro, e do peso de uma particula de poeira. Vamos estudar mais sobre essa notação, ao trabalhar com propriedades de potências.                                       

quarta-feira, 22 de dezembro de 2010

Equações do segundo grau

Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:


a x + b = 0


a x² + bx + c = 0


a x4 + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.


A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:



contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:



onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

D = b² - 4ac


Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.


Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:


2 x² + 7x + 5 = 0


3 x² + x + 2 = 0


Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:


4 x² + 6x = 0


3 x² + 9 = 0


2 x² = 0


Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a


Exemplos gerais


4x²=0 tem duas raízes nulas.


4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]


4x²+5=0 não tem raízes reais.


4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.


x² + 6x = 0


2 x² = 0


3 x² + 7 = 0


2 x² + 5 = 0


10 x² = 0


9 x² - 18 = 0


Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:



onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:


Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.


Se D=0, há duas soluções iguais:

x' = x" = -b / 2a


Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:

x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.
EquaçãoabcDeltaTipos de raízes
x²-6x+8=01-684reais e diferentes
x²-10x+25=0
x²+2x+7=0
x²+2x+1=0
x²+2x=0



O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0


Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6


Escrever o discriminante D = b²-4ac.


Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1


Escrever a fórmula de Bhaskara:




Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:

x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2


Exercícios


Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:


x² + 9 x + 8 = 0


9 x² - 24 x + 16 = 0


x² - 2 x + 4 = 0


3 x² - 15 x + 12 = 0


10 x² + 72 x - 64 = 0


Resolver as equações:


x² + 6 x + 9 = 0


3 x² - x + 3 = 0


2 x² - 2 x - 12 = 0


3 x² - 10 x + 3 = 0


Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:


3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0


3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.


Consideremos o primeiro exemplo:

3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:

MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:

[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

o que significa que o numerador deverá ser:

3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

que desenvolvido nos dá:

x2 + 3x - 13 = 0

que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.


Consideremos agora o segundo exemplo:

(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como: (x+3)(x+4)=2x(2x-1)
x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
-3x² + 9x + 12 = 0
3x² - 9x - 12 = 0
x² - 3x - 4 = 0
(x-4)(x+1) = 0



Solução: x'=4 ou x"= -1


Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0

O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:

3 + (x+2)=0

cuja solução é x= -5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:


x + 6/x = -7


(x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)


(2-x)/x + 1/x² = 3/x


(x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1


Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x²

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:


Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:

x² = 4 ou x² = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = { 2, -2, 3, -3}


Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:

x² = -4 ou x² = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = {3, -3}


Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:

x² = -4 ou x² = -9

segunda-feira, 20 de dezembro de 2010

Raiz quadrada

Raiz quadrada
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Matematicamente, uma raiz quadrada de um número x é um número que, quando multiplicado por si próprio, iguala x. A raiz quadrada positiva de um número real não negativo x é simbolizada por √x. Por exemplo: porque 4 × 4 = 16, e √2 = 1.41421... . As raízes quadradas são importantes para a resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos.

O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (em latim, raiz). Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de recta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raíz quadrada do inicia


As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:
\sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}
\sqrt{x}-\sqrt{y} = \sqrt{x+y-2\sqrt{xy}} sempre que x ≥ y
\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}
\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
\sqrt{x^2} = \left|x\right| para todo o número real x (ver valor absoluto)
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; √x é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, √2 é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois).
Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado.
Admita-se que x e a são reais, e que x² = a, e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = √a. Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x² não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que |x| = √a, ou, de outra forma, que x = ±√a.
Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade:
\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
Tal é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero.
A função f(x) = √x tem o seguinte gráfico:
Funcao raiz quadrada.svg
A função é contínua para todo o x não negativo, e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}
As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial:
\sqrt{x+1}=1 +
\sum_{n=1}^\infty 
{ (-1)^{n+1} (2n-2)!
\over
n! (n-1)! 2^{2n-1} }x^n
 =  1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots
para |x| < 1.

Meios de calcular a Raiz quadrada

Calculadoras

As calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas para computar a função exponencial e o logaritmo natural, e elas computam a raiz quadrada de x usando a identidade:\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x} A mesma identidade é explorada quando computamos raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo.
Método babilônio
Um algoritmo frequentemente usado para aproximar √n é conhecido como "método babilônio" (porque, especula-se, este era o método usado na Mesopotâmia para calcular a raiz quadrada, e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação x^2 - n = 0\,. Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:
  1. Inicie com um número positivo arbitrário r (preferencialmente próximo da raiz);
  2. Substitua r pela média de r e n/r;
  3. Repita o segundo passo para obter uma aproximação melhor.
Este algoritmo é quadraticamente convergente, que significa que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição.
Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão

 Método Babilônio (exemplificado)

O método babilônio é um método que dá uma aproximação da raiz quadrada. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Mas se for para cálculos simples, é bom, pois não é necessário tanto rigor.
Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.
  1. Ache o quadrado perfeito que mais se aproxima com o número.
5²=25
6²=36
7²=49
8²=64
9²=81
Nesse caso o quadrado que mais se aproxima é 64. Nota: Usa-se sempre o quadrado menor que o número procurado, mesmo que o quadrado maior seja mais próximo.
  1. Extraia a raiz quadrada do quadrado que mais se aproximou. A raiz quadrada de 64 é 8. Nesse exemplo chamaremos 8 como A.
  1. Divida o número original por A, até que se tenha o dobro de casas decimais que A.
66:8 = 8,2
Nesse exemplo chamaremos 8,2 como B
  1. Somamos A com B e dividimos por 2. Esse número chamaremos de C.
8 + 8,2 = 16,2
16,2 : 2 = 8,1
  1. Agora dividimos o número original (nesse caso 66) por C até que se tenha o dobro de casas decimais de C. O resultado chamaremos de D.
66 : 8,1 = 8,148
  1. Somamos C e D e dividimos por 2.Esse número chamaremos de E.
8.1 + 8.148 = 16.248
16.248 : 2 = 8,124
Essa seria a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. E como geralmente não se necessita uma raiz quadrada precisíssima, então podemos dizer que é desnecessário prosseguir. Mas caso queira continuar, o algoritmo continua o mesmo e você pode tentar chegar á 10 ou 12 casas decimais. Mas o resultado seria um pouco impreciso.
Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora: 8,124038405... Ou seja esse método é bom para achar a raiz quadrada.

Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longa

Este método, apesar de muito mais lento que o método Babilônio, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raíz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito.
Escreva o número em decimal e divida-o em pares de digitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raíz quadrada final aparecerá acima do número original.
Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver não mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1. Exemplo: Que é a raiz quadrada de 152,2756?
____1__2._3__4_
       |  01 52.27 56                        1
x         01                   1*1=1         1
         ____                                __
          00 52                              22
2x        00 44                22*2=44        2
         _______                             ___
             08 27                           243
24x          07 29             243*3=729       3
            _______                          ____
                98 56                        2464
246x            98 56          2464*4=9856      4
               _______
                00 00          O algoritmo termina:  a resposta é 12,34
Embora demonstrado aqui para números da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrição acima, 20 meios dobram a base de número usada, no exemplo de binário isto seriam realmente 100 . que o algoritmo está no fato muito mais fácil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dígitos 0 e 1 têm que ser testados.

Equação de Pell

A equação de Pell é um método para encontrar aproximações racionais de raízes quadradas das integrais
Encontrando Raízes quadradas usando aritmética mental
Baseado na Equação de Pell's este é um método para obter a Raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares.
Ex: Para obter \sqrt{27} nós começamos com a seguinte sequência:
  1. 27 - 1 = 26
  2. 26 - 3 = 23
  3. 23 - 5 = 18
  4. 18 - 7 = 11
  5. 11 - 9 = 2
5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5.
2\times 100 = 200 e 5\times 20 + 1 = 101
  1. 200 - 101 = 99
O próximo número é 1.
99\times 100 = 9900 e 51\times 20 + 1 = 1021
  1. 9900 - 1021 = 8879
  2. 8879 - 1023 = 7856
  3. 7856 - 1025 = 6831
  4. 6831 - 1027 = 5804
  5. 5804 - 1029 = 4775
  6. 4775 - 1031 = 3744
  7. 3744 - 1033 = 2711
  8. 2711 - 1035 = 1676
  9. 1676 - 1037 = 639
O próximo número é 9.
O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27.

Método das Frações Continuadas

Irracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: an+1=1/(2+an) com a0=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2.

Raiz quadrada de números complexos
Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raíz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| < 1.
Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada:
\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}
onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original.
Perceba que, por causa da natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a regra √(zw) = √(z)√(w) é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas "provas" erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1:
-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1
A terceira igualdade não pode ser justificada.
Porém, a regra pode estar errada apenas até um fator -1, √(zw) = ±√(z)√(w), é verdadeiro para ambos ± tanto + como - (mas não ambos ao mesmo tempo). Perceba que √(c²) = ±c, portanto √(a²b²) = ±ab e finalmente √(zw) = ±√(z)√(w), com o uso de a = √(z) e b = √(w).

Raízes quadradas de matrizes e operadores

Se A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos √A = B.
Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória.

 Raiz quadrada dos 20 primeiros números inteiros positivos

√ 1 = 1
√ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4 = 2
√ 5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9 = 3
√10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√11 ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√12 ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√13 ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√14 ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√15 ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√16 = 4
√17 ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√18 ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√19 ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√20 ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418

Vídeo aula de matemática.














Site do vídeo www.youtube.com.br

Multiplicação de polinômios

A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:

Multiplicação de monômio com polinômio.

Multiplicação de número natural com polinômio.

Multiplicação de polinômio com polinômio.

As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m

• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.

Multiplicação de monômio com polinômio

• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)

15x3 + 9x2 – 3x

Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x

• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:

-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.

-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)

- 10x3 + 2x2

Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2

Multiplicação de número natural

• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:

3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.

3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5

6x2 + 3x + 15.

Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.

Multiplicação de polinômio com polinômio

• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)

(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2

15x3 + 6x – 5x2 – 2

Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2

• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:

(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.

2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)

10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2

10x3+ x2 + 3x – 2

Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
Site tirado: mundodaeducação.com.br

domingo, 19 de dezembro de 2010

divisão de polinômio

divisão de polinômio é um pouco complicado basta um pouco de atenção:

veja a equação abaixo:











Exemplo:
• Primeiro deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos termos do divisor.



• Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.



• Agora deve-se repetir o primeiro passo, escolher o termo conveniente para multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do polinômio que foi resultado do primeira operação.



• Repetir o mesmo processo do segundo passo.



Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x + 5.

Dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Quando necessitarmos dividir um polinômio por um binômio poderemos utilizar este dispositivo.

Por exemplo ao dividirmos o polinômio p(x) = 2x4 – 2x2 + 3x +1 por x – 1. (devem ser colocados todos os coeficientes. nesse caso precisaremos adicionar o coeficiente zero, que seria de x3)



Na segunda linha, repetimos o primeiro número da linha acima (no caso, o número 2). Em seguida, multiplica-se esse número pela raiz e somamos o próximo número da linha superior. Repetir essa operação até que acabem os números da linha superior.

Assim o quociente da divisão é 2x3 + 2x2 + 0x1 + 3 e o resto é 4.

Assistam o vídeo sobre matemática muito interesante

Video de matemática.

quarta-feira, 15 de dezembro de 2010

Polinômios (semelhantes ou não) e (soma e subtração)

São expressões contendo variáveis, e consistindo de um ou mais termos.

São chamadas de polinômios e alguns deles recebem até recebem seus próprios nomes! Veja:
Os polinômios que têm somente um termo são chamados de monômios             
Um polinômio que tem dois termos é chamado de binômio
Polinômios que tem três termos são chamados de trinômios

Os termos que são semelhantes quando tem a mesma parte literária por exemplo: 6y -5y .


Somas e subtrações de Polinômios:
Os termos semelhantes já apareceram na parte anterior. Talvez você tenha ficado curioso a respeito do seu uso. pois bem, você pode usá-los para simplificar a escrita de certos polinômios. Veja:

Podemos junta os termos semelhantes e somá-los, ou subtraí-los, assim:
4x +5y -7x +6y
-3x +11y
como obtemos esse resultado:
É simples, você só tem que eliminar os termos semelhantes como fizemos a cima.
efetuamos -7x +4x e obtemos o resultado -3x
depois efetuamos +6y +5y e obtemos o resultado +11y
como não podemos fazer mais nada, pois os dois termos não são semelhantes juntamos os dois formando o resultado -3x +11y
Obs: quando tem um sinal negativo antes da expreção trocamos os sinais de todos que estão nos parênteses e o positivo conservamos. Veja:
4x -7y +45m - (5y -8x) 
4x -7y +45m -5y +8x 
daqui é só fazer a soma e a subtração dos polinômios.
12x -12y +45m

sinal positivo:
4x -7y  +45m + (5y -8x)
4x -7y +45m +5y -8x
daqui é só fazer a soma e a subtração dos polinômios.
-4x -2y +45m

Potência.

Nesse caso potência é um assunto da matemática bem simples.
Obs: se a potência for zero o resultado automaticamente irá ser 1.
Observe:
 2 . 2 . 2 . 2 que é o mesmo que 24 = 16
ou seja, multiplica a base quantas vezes o expoente mandar como, o exemplo acima.


O expoente negativo, é mais simples ainda, você pega a potencia negativa e transforma em uma fração:











Na potência negativa primeiro transforma a potência negativa em uma positiva e fracionária.


Exercicios:

1) Efetue, observando as definições e propriedades:
a) (-2)³
i)
b)
j) (0,5)³
c) 500¹
l) 15¹
d) 100º
m)
e) 0³
n)
f) 0º
o)
g)
p)
h)
q)
Obs: Se a base for zero o resultado també será zero

terça-feira, 14 de dezembro de 2010

porcentagem.

Razão centesimal 
    Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
    Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
   
    As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
    Considere o seguinte problema:
    João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
    Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
    Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
    Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
    Exemplos:
  • Calcular 10% de 300.
           
       
  • Calcular 25% de 200kg.
           

    Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
    EXERCÍCIOS:
    1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
   
    Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
    2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
    Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
   
    Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

    Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
    Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67

    Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
    No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
    Fator de Multiplicação =  1 - taxa de desconto (na forma decimal)
    Veja a tabela abaixo:
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
    Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

domingo, 12 de dezembro de 2010

Diverção: megaman download X4, x6, grand chase season 3, a Tube Catcher e donkey kong country.

Megaman x4Click aqui pra baixar
Para baixar primeiro click no link, espere uns segundos e baixe o seu game.
Manhas: coloque em zero e precione a seta para cima, para deixa-lo negro.
para megaman, coloque nele e aperte a seta para biaxo, as partes do seu corpo estarão roxas, então depois de acabar a faze inicial, coloque no primeiro vilão ache uma armadura, você irá pegar uma armadura muito forte.

Megaman x6 http://www.4shared.com/get/M8B_TgxQ/MegamanX6SetupPCRIP.html
Click no link espere o download e baixe o seu game.
Manhas: no início do jogo onde tem a opção escrito precione X você irá colocar a manha para o paersonagem vir com uma armadura negra e poderosa coloque a manha esquerda, esquerda, esquerda, direita.
para o outro paersonagem vim negro depois de derrota-lo vc coloca a manha a, a, a, f.

Grand chase season 3 http://levelupgames.uol.com.br/grandchase/suporte/download-do-jogo

Não contém manhas.

a Tube Catcher http://atube-catcher.dsnetwb.com/get-video-software-windows-home/content/banco-datos-Welcome-Home-Page.html
com esse aplicativo você pode pegar qualquer vídeo da internet e baixar para o seu PC na hora que quiser,
colocar nos formatos mais conhecidos do windows, converter videos para o formato que você quiser, sons, entre outros.
Donkey kong country http://www.brothersoft.com/games/donkey-kong-country-for-snes-download.html
Um dos jogos mais classicos do snes espero que gostem.

Winrar http://www.baixaki.com.br/site/dwnld2657.htm
Um ótimo descompactador de arquivos

Equações do primeiro grau

Introdução
    Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3   (Não é igualdade)
   (não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
  
  
   Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
   A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".
   Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

               
   Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.


Exercicios:

2x-4=X-5

2x-8=3x-10

4x-88=44-X

Obs: se o X der negativo multiplique por menos um.
Veja:


2x-4=3x-5
2x-3x=4-5
-X= -1 (-1)
X=1